Průměrná výnosová míra a CAGR

12233x přečteno

Častým problémem při interpretaci výkonnosti investic bývá užití nesprávné terminologie nebo neznalost některých matematických zákonitostí.

Nezřídka kdy například někdo řekne, že daný podílový fond má od založení průměrný výnos 7 % p.a. Všichni mu sice rozumí, ale správné by bylo říct, že daný podílový fond má od založení průměrnou výnosovou míru 7 % p.a. Výnosová míra je totiž relativní přírůstek investovaného kapitálu. Absolutní přírůstek investovaného kapitálu se označuje jako výnos, ten však bývá uváděn v peněžních jednotkách, nikoliv procentech. Výnosová míra je pak podíl výnosu a investovaného kapitálu.

Nicméně výše uvedené pochybení je malichernost v porovnání s tím, co může nastat při samotném výpočtu průměrné výnosové míry. Vysvětleme si to na následujícím příkladu. Představme si, že máme 100 000 Kč, které investujeme. Během prvního roku naše investice vzroste o 100 % na 200 000 Kč. V příštím roce hodnota investice poklesne o 50 % a máme znova 100 000 Kč jako na počátku.

Za dva roky jsme tedy dosáhli nulového výnosu a tak i průměrná roční výnosová míra musí činit 0 %. Světe div se, ale najdou se finanční poradci, kteří budou chtít dát situaci pozitivní nádech a budou tvrdit, že při výnosové míře 100 % v prvním roce a –50 % v druhém roce průměrná roční výnosová míra činí 25 % ((100-50)/2). Počkat, když bychom dosáhli průměrné výnosové míry 25 %, neměla by být hodnota naší investice po dvou letech větší než na začátku?

Samozřejmě, že měla. Výpočet průměrné výnosové míry aritmetickým průměrem je velice iluzorní. V našem příkladu si lze nesrovnalosti všimnout rychle, ale v případě ročních výnosů akciových indexů nebo fondů to na první pohled patrné rozhodně není. Jediným relevantním měřítkem skutečné průměrné roční výnosové míry je CAGR (Compound annual growth rate neboli složená roční míra růstu). CAGR je v podstatě geometrický průměr koeficientů růstu zmenšený o jedničku: (2x0,5)1/2 -1 = 0. Jestliže neznáme koeficienty růstu v jednotlivých letech, můžeme jejich součin ve vzorci rovněž substituovat podílem počáteční a konečné hodnoty: (100000/100000)1/2 -1 = 0.

Aritmetický průměr v praxi oproti CAGRu skutečnou průměrnou roční výnosovou míru nadhodnocuje, u akciového indexu S&P 500 v dlouhém období zhruba o 1-2 %. To, jak moc je průměrná výnosová míra spočtená aritmetickým průměrem oproti CAGRu nadhodnocena určuje volatilita. Čím vyšší volatilita, tím větší rozdíl mezi CAGRem a aritmetickým průměrem. Existují dva hlavní faktory, ze kterých se volatilita skládá – záporné výnosy a statistické rozdělení výnosů.

Nejprve si demonstrujme dopad záporných výnosů na složenou roční výnosovou míru. Mějme opět 100 000 Kč, které investujeme. V prvním roce dosáhneme výnosové míry 15 %, čímž hodnota portfolia naroste na 115 000 Kč. Máme skvělý pocit, dokud se hodnota našeho portfolia nesníží vlivem nepříznivých pohybů tržních kurzů ve druhém roce o 15 %. Kolik máme teď?  Jestli tipujete 100 000 Kč, tak jste na omylu. Jistě, průměrná výnosová míra spočtená prostým aritmetickým průměrem je sice 0 %, ale pokud se zastavíme a provedeme výpočet, zjistíme, že jsme prodělali. Po 15 % propadu hodnoty portfolia ve druhém roce bude jeho hodnota 97 750 Kč, což odpovídá CAGRu -1,13 %.

Co když se stane, když obrátíme pořadí – nejdříve proděláme a ve druhém roce vyděláme? V prvním roce záporná 15 % výnosová míra sníží hodnotu portfolia ze 100 000 na 85 000 Kč. Ve druhém roce realizujeme zisk 15 %. Nic se však nezmění, konečná hodnota portfolia bude stejných 97 750 Kč a složená roční výnosová míra -1,13 %.

Pokaždé když ztratíme peníze, musíme dosáhnout větší výnosové míry, abychom prodělané peníze dostali zpět. Proto se řada zkušených investorů soustředí primárně na ochranu kapitálu a minimalizaci drawdownu a až druhotně na výnos. Proto je investičním pravidlem číslo jedna Warrena Buffetta nikdy neprodělat peníze. Plně totiž chápou negativní dopad na skutečnou průměrnou výnosovou míru portfolia.

Na výši CAGRu působí i statistické rozdělení výnosových měr jednotlivý let. Platí, že čím větší variační rozpětí souboru výnosových měr, tím nižší CAGR oproti aritmetickému průměru výnosových měr. Toto hezky znázorňuje následující tabulka:

Zdroj: http://www.investinganswers.com/education/how-invest/cagr-vs-average-annual-return-why-your-advisor-quoting-wrong-number-1996

Závěrem bych rád zdůraznil, že pokud se někdy setkáte s průměrnou roční výnosovou mírou, ujistěte se, že se jedná o CAGR založený na geometrickém průměru, nikoliv aritmetickém. A pak už si jen v duchu opakujte modlitbu Warrenna Buffetta: NEVER LOSE MONEY.

Autor: David Krejča